До Пифагора и Евклида: как примитивный счёт «один, два, много» породил математику

Представьте, как непросто было человечеству на заре своего развития осваивать счёт. Это подобно тому, как каждый из нас в детстве учится считать, только без каких-либо подсказок или учителей. Все открытия и шаги приходилось совершать самостоятельно, что, безусловно, вызывает искреннее восхищение.

Первые шаги: от «один» и «два» к «много»

Можно приблизительно понять, как происходил этот процесс, если перенести на древние времена опыт изучения счёта у племён, которые до недавнего времени (а возможно, и сейчас) находились на начальных этапах развития и не имели доступа к знаниям, накопленным великими математиками прошлого, такими как Пифагор и Евклид. Анализируя их методы счёта, можно предположить, как человечество постепенно продвигалось от самых простых форм к более сложным математическим концепциям.

Интересно, что в самых ранних человеческих сообществах, как правило, существовали только числительные для «один» и «два». Число «три» встречается реже. Для всего, что превосходит эти значения, использовалось общее понятие «много». Однако, если это «много» не было совсем уж огромным, применялись уточнения. Так, «три» могло обозначаться как «два-один», «четыре» как «два-два», а «пять» как «два-два-один».

Примером такой системы могут служить жители Андаманских островов. В их языке есть только два числительных: «один» и «два». Число «три» выражается как «на один больше», «четыре» как «на несколько больше», а «пять» — это уже «всё».

Это демонстрирует, что в основе счёта лежит принцип добавления единицы. Для представления больших чисел требуется более сложная система, которая постепенно развивалась с течением времени.

Неприязнь к абстрактному счёту: пример абипонов

Изначально, при изучении некоторых сообществ, у учёных сложилось представление о преобладании гуманитарного или естественно-научного, но никак не математического склада ума. Например, об абипонах, коренных жителях севера Аргентины и юга Парагвая, отмечали следующее:

Они не просто не владеют арифметическими навыками, но и испытывают к ним неприязнь. Их память, при попытках использования в арифметических задачах, даёт сбои, вероятно, из-за необходимости выполнять непривычные для них действия. Сама мысль о счёте вызывает у них утомление и скуку. Чтобы избежать утомительных вопросов, они демонстрируют случайное количество пальцев, при этом часто ошибаясь или намеренно вводя спрашивающего в заблуждение. В случаях, когда запрашиваемое число превышает три, абипон, стремясь избежать счёта пальцами, просто восклицает «Поп» (что означает «много») или «Шик лейекалипи» (что означает «неисчислимо»).

В данном описании, по сути, подчёркивается не столько отсутствие математических способностей, сколько нежелание или неспособность оперировать абстрактными числовыми понятиями в рамках принятых нами арифметических операций.

Практическая необходимость: измерение вместо абстракции

Действительно, способность к счёту у древних народов проявлялась не в абстрактном понимании чисел, а в практической необходимости. Возвращаясь с охоты, люди не оперировали точными количествами добычи. Вместо этого они оценивали объём, который займёт принесённое, или размер стада, если речь шла о пойманных животных. Такой подход, с точки зрения математики, является применением концепции измерения, где важна не абсолютная численность, а занимаемое пространство.

Интересно, что при подсчёте своих собак, этих домашних компаньонов, люди демонстрировали поразительную точность. Они моментально определяли отсутствующих, не прибегая к пересчёту всех имеющихся. Это говорит о развитом навыке сравнения и распознавания образов — фундаментальных принципах дискретной математики. Они не просто знали общее количество, но и индивидуально идентифицировали каждого члена группы, что говорит о высоком уровне когнитивных способностей.

Счёт на теле: итерация и цикличность

Австралийские племена, при планировании важных событий, демонстрировали ещё более сложные математические навыки. Они могли точно определить день общего сбора, оперируя количеством остановок или фазами луны. Здесь мы видим использование концепции итерации — многократного повторения процесса, а также понимание цикличности времени. Не имея слов для обозначения чисел, они использовали собственное тело как счётный инструмент. Каждая часть тела соответствовала определённому значению, создавая своеобразную систему нумерации. Этот подход, аналогичный нашему счёту на пальцах, показывает, как математические концепции могут быть выражены через конкретные физические объекты.

Математические способности древних людей были не абстрактными, а тесно связаны с их повседневными нуждами. Они умели считать, измерять, сравнивать и планировать, используя различные методы и инструменты, в том числе и собственное тело. Это ещё раз доказывает, что математика — это не просто набор формул, а фундаментальный инструмент для понимания и взаимодействия с окружающим миром.

От конкретного к абстрактному: рождение математики

Рассмотрим систему счисления, используемую жителями островной группы, расположенной между Австралией и Новой Гвинеей. Их числовой ряд состоит всего из двух базисных элементов: «нетат», обозначающего единицу, и «неис», обозначающего двойку. Дальнейшее формирование чисел происходит путём аддитивного принципа, то есть сложения. Так, «три» получается как комбинация «неис нетат», а «четыре» как «неис неис». После исчерпания возможностей такого сложения, как и в некоторых австралийских системах, в ход идут обозначения, связанные с частями тела. Таким образом, наибольшее число, которое они могут выразить, оказывается равным тридцати одному.

Этот пример демонстрирует важную особенность: счёт, как концепция, возник у человечества значительно раньше, чем появились абстрактные понятия для обозначения чисел. Вероятно, требуется определённый период времени для того, чтобы в языке сформировались слова, описывающие исключительно количество, а не конкретные объекты. Это согласуется с общей закономерностью развития языков. На начальных этапах язык представляет собой набор слов, обозначающих конкретные, легко выделяемые из окружающей среды, и даже осязаемые предметы. Затем, по мере развития, в нём появляется всё больше абстрактных терминов.

Понимание числовых систем, используемых в культурах, отличных от нашей, может представлять значительную сложность. Например, при изучении систем счисления коренных жителей островов Торресова пролива, различные исследователи отмечали разные максимальные числа, используемые ими в счёте.

Интересно, что островитяне используют своё тело как счётный инструмент. Начиная с пальцев рук, они последовательно прикасаются к различным частям тела: запястью, локтю и плечу правой руки, затем к грудине, и далее к соответствующим частям левой руки, включая пальцы. Таким образом, они могут досчитать до 17. Если же требуется большее число, они добавляют пальцы ног, лодыжку, колено и бедро, сначала с правой, а затем с левой стороны. Это позволяет им досчитать до 33. Для чисел, превышающих 33, они прибегают к помощи пучка маленьких палочек, что указывает на переход к более абстрактному способу счёта.

Представим ситуацию: нужно договориться о дате важного события, например, собрания старейшин. Человек, отвечающий за это, представлял каждый день, последовательно касаясь различных частей своего тела. Чтобы сообщить число дней до события, он указывал на ту часть тела, которой коснулся последней. Затем, каждый последующий день, процесс повторялся, но касание останавливалось на одну часть тела раньше. Когда оставалась лишь одна часть, это означало, что событие состоится завтра.

Конечно, части тела были не единственным инструментом. Археологические находки, такие как волчья кость с пятьюдесятью пятью зарубками, обнаруженная в Дольни-Вестонице, свидетельствуют о том, что древние люди использовали и другие способы счёта. Подобные кости с зарубками встречаются даже на стоянках неандертальцев. Это говорит о том, что, несмотря на ограниченность словесного обозначения чисел («раз-два-много»), практические возможности древних людей в счёте были гораздо шире.

Вся эта система работала весьма эффективно до тех пор, пока не произошло абстрагирование чисел от конкретных предметов. Именно этот момент можно считать рождением математики. После этого числа получили независимость, и с ними стало возможно производить любые операции.

Стоит отметить, что праиндоевропейцы, судя по лингвистическим реконструкциям, умели считать как минимум до ста. Их система счисления была десятеричной, что, вероятно, связано с количеством пальцев на руках. Этот факт показывает, что начало математического мышления тесно связано с физиологическими особенностями человека.

Вавилон оставил нам в наследство шестидесятеричную систему, хотя у шумеров изначально использовалась десятеричная система, а ещё раньше, возможно, даже пятеричная. Существует гипотеза, что переход к шестидесятеричной системе был обусловлен аккадским влиянием и связан с тем, что одна мина серебра равнялась шестидесяти шекелям. Однако это утверждение не является полностью доказанным.

По материалам: Леви-Брюль «Сверхъестественное в первобытном мышлении»