Как устроена бесконечность?

Люди всегда были убеждены, что Вселенная имеет границы. Например, считали, что наш мир – это круглый диск, накрытый сверху небесным куполом. А византийский путешественник Козьма Индикоплов уверял, что наш мир и вовсе похож на четырёхугольный сундук. 

 

Но, если мир похож на сундук, что же тогда находится снаружи этого сундука? Если Земля окружена хрустальным небесным куполом – тогда что же находится вне этого купола? 

На опубликованной в 1888 году гравюре изображён средневековый монах, который якобы отыскал место, где земля соединяется с небом, проделал в куполе неба дыру и выглянул наружу. Там он увидел множество чудесных вещей… А можем ли мы их увидеть?

 

Зенон Элейский, указывал на то, что понятие бесконечности: а) связано с таким понятием, как движение; б) во-вторых, обладает «двойственностью» или «неопределённостью».

В качестве примера можно привести обыкновенное колесо. Возьмём колесо, внутри которого бегает белка. Колесо это имеет ограниченный размер – мы можем взять линейку и спокойно измерить его вдоль и поперёк. Но с точки зрения белочки, которая бежит внутри этого колеса, оно бесконечно! Потому что белка может бежать, бежать и снова бежать – и всё равно никогда не добежит до «конца». 

 

Древние были просто очарованы этим парадоксом, – колесо одновременно объединяло ограниченность и бесконечность!

А вот другой пример, снова взятый у древнегреческих философов. Представим себе лягушку, которая прыгает по полу. Однако каждый следующий её прыжок в два раза короче, чем предыдущий. Тогда эта лягушка может скакать бесконечно долгое количество времени, но никогда не сможет проскакать даже расстояние в 10 шагов. Хотя 10 шагов, это даже первокласснику ясно, расстояние ограниченное. 

 

Есть такая игра – «шаги из круга». Игра эта очень проста. На песке чертят круг. Играющие встают в центр круга спиной к спине, а затем должны по очереди делать шаги. Правила были простые:

1. За каждый ход нужно сделать один шаг (то есть стоять на месте нельзя, кто остался на месте – тот проиграл).

2. Шаг нужно делать только в сторону края круга (то есть идти можно только вперёд, назад – нельзя).

Проигрывал в этой игре тот, кто первым пересекал границу круга. Попробуйте поиграйте в эту игру. Забавно смотреть, как игроки пытаются делать шажки всё меньше и меньше, всё меньше и меньше – лишь бы выиграть и не добраться до границы круга раньше соперника. 

 

Однако если мы перенесём эту игру в область математических вычислений, то обнаружим совершенно удивительную вещь. Представим себе самый обычный круг, а в центре этого круга – точку. И введём правило: чем ближе точка придвигается к краю, тем медленнее становится её скорость перемещения. Тогда мы получим удивительную штуку: с точки зрения точки внутри этого круга область круга станет... бесконечной!!! 

Подумайте сами: если у нас работает такое правило, то точка никогда не сможет проделать путь из центра круга до его края!

В математике это совсем не шутка. Достаточно задать определённый закон (или, как говорят математики, «преобразование») для скорости, времени или координат, и самый обыкновенный маленький шарик – размером с теннисный мячик! – вдруг оказывается «изнутри» настолько же бесконечным, как вся наша Вселенная. На языке математики это звучит так: «Открытый шар с радиусом 1, принадлежащий пространству R3, и само пространство R3 обладают одинаковой мощностью множества».

Это значит, что маленький шарик может вмещать в себя столько же «места», сколько вся Вселенная! 

 

А может быть, вся наша Вселенная – это такой вот маленький «мячик» внутри какой-то другой Вселенной? Даже немножко страшно. Однако математические формулы – штука невероятно упрямая...