Принцип Экспоненциальной Стабильности Распределения Простых Чисел (Гипотеза АММО) (no replies)
Принцип Экспоненциальной Стабильности Распределения Простых Чисел (Гипотеза АММО)
## 1. Введение и Контекст
Теория чисел традиционно изучает распределение простых чисел $\mathbf{\pi(x)}$ через асимптотические законы, такие как Теорема о Распределении Простых Чисел (PNT). PNT утверждает, что $\mathbf{\pi(x) \sim \text{Li}(x)}$. Однако PNT не накладывает строгих, неасимптотических условий на **монотонность локального роста** $\pi(x)$. Настоящая работа вводит и исследует новую гипотезу о **неубывающей стабильности** роста простых чисел в экспоненциально масштабированных интервалах.
---
## 2. Математическая Формулировка Гипотезы
### 2.1. Определение Dyadic-Интервалов
Пусть $\mathbf{m}$ — фиксированное **нечётное натуральное число** ($\mathbf{m \ge 3}$).
Пусть $\mathbf{n}$ — натуральный индекс масштаба ($\mathbf{n \ge 1}$).
Определим последовательность $\mathbf{n}$-го порядка Dyadic-интервалов $I_n(m)$ следующим образом:
$$I_n(m) = \mathbf{\left(m \cdot 2^n, \quad m \cdot 2^{n+1}\right]}$$
### 2.2. Определение Функции Приращения
Пусть $\mathbf{\Delta_n(m)}$ — количество простых чисел в интервале $I_n(m)$:
$$\mathbf{\Delta_n(m) = \pi\left(m \cdot 2^{n+1}\right) - \pi\left(m \cdot 2^n\right)}$$
### 2.3. Гипотеза Экспоненциального Роста АММО (АММО-Г)
**Гипотеза АММО** утверждает, что для каждого **нечётного** множителя $\mathbf{m \ge 3}$, количество простых чисел в Dyadic-интервалах является **неубывающей функцией** от масштаба $\mathbf{n}$:
$$\mathbf{\Delta_{n+1}(m) \ge \Delta_n(m) \quad \text{для всех } n \ge 1}$$
## 3. Теоретическое Обоснование и Новизна 🚀
### 3.1. Принцип Экспоненциальной Стабильности
Гипотеза АММО постулирует, что **геометрический рост длины интервала всегда преодолевает логарифмическое падение плотности простых чисел**.
* **Длина интервала** удваивается при переходе от $I_n$ к $I_{n+1}$: $\mathbf{\text{Length}(I_{n+1}) = 2 \cdot \text{Length}(I_n)}$.
* **Плотность простых чисел** (согласно PNT) падает как $\mathbf{\sim 1/\ln x}$.
* Гипотеза АММО утверждает, что **чистое удвоение масштаба** всегда создаёт достаточно места для новых простых чисел, чтобы $\mathbf{\Delta_{n+1}}$ было не меньше $\mathbf{\Delta_n}$.
[Image of a diagram illustrating exponential growth overriding a logarithmic decay function]
### 3.2. Обнаружение Критического Порога
Эмпирический анализ показал, что неравенство устанавливается в **строгой форме** ($\Delta_{n+1} > \Delta_n$) для большинства $m$ и $n$. Критическим является случай $\mathbf{m=5}$, где наблюдается **плато** на начальных масштабах: $\mathbf{\Delta_1(5) = \Delta_2(5) = 4}$.
**Новизна:** Обнаружение этого критического порога доказывает, что Гипотеза АММО **не является тривиальным асимптотическим следствием PNT**, а описывает тонкий, но строгий баланс между главным членом PNT и функцией ошибки $\mathbf{R(x)}$.
---
## 4. Полезность и Следствия для Теории Чисел 🛠️
Доказательство Гипотезы АММО будет иметь глубокие последствия для аналитической теории чисел.
### 4.1. Установление Строгих Границ для $\mathbf{R(x)}$
Гипотеза АММО предоставляет **новое, мощное условие гладкости** для функции ошибки $\mathbf{R(x) = \pi(x) - \text{Li}(x)}$. Доказательство АММО-Г требует аналитически продемонстрировать, что:
$$\mathbf{R\left(m \cdot 2^{n+2}\right) - 2R\left(m \cdot 2^{n+1}\right) + R\left(m \cdot 2^n\right) \ge C_n}$$
Где $\mathbf{C_n}$ — положительный член, связанный с главным членом PNT. Это требование накладывает **строжайшее нетривиальное ограничение** на величину и поведение $\mathbf{R(x)}$ в конкретной экспоненциальной конфигурации.
### 4.2. Аналогия с Алгебраической Стабильностью
Анализ структурных аналогий, таких как тождество $\mathbf{(\sum k^3 \pm n^3) = 2k^3}$, показывает, что **идеальная алгебраическая стабильность** (где флуктуации $\mathbf{n^3}$ сокращаются) служит **эталоном** для доказательства того, что **геометрический рост** в $\mathbf{\Delta_n(m)}$ всегда преодолевает флуктуации $\mathbf{R(x)}$.
### 4.3. Сведение Доказательства к Конечному Анализу
Эмпирические данные, показывающие, что строгий рост устанавливается для $\mathbf{m \ge 7}$ с $\mathbf{n=1}$, позволяют **свести проблему доказательства АММО-Г** к строгому анализу **конечного числа критических случаев** (в основном $\mathbf{m=3}$ и $\mathbf{m=5}$ при $\mathbf{n=1}$).
---
## 5. Заключение
Гипотеза АММО вводит **Принцип Экспоненциальной Стабильности**, который утверждает, что распределение простых чисел подчиняется строгому закону неубывающего роста в Dyadic-интервалах. Доказательство этой гипотезы станет значительным шагом в установлении новых, более жестких условий на равномерность распределения простых чисел и на функцию ошибки PNT.
---
https://postimg.cc/Hj0rWYsX
---
## 5. Дополнение к Статье: Анализ Критического Случая $\mathbf{m=5}$ 🔍
### 5.1. Эмпирическое Наблюдение
Критический множитель $\mathbf{m=5}$ демонстрирует наиболее тонкий баланс между геометрическим ростом и падением плотности. Анализ, начиная с $\mathbf{n=1}$, выявил единственный случай **плато** (равенства), находящийся на границе нарушения Гипотезы АММО:
| $\mathbf{n}$ | Интервал $\mathbf{(5 \cdot 2^n, 5 \cdot 2^{n+1}]}$ | Количество простых чисел $\mathbf{\Delta_n(5)}$ | Сравнение $\mathbf{\Delta_{n+1} \ge \Delta_n}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| **1** | $(10, 20]$ | $\mathbf{4}$ ($\{11, 13, 17, 19\}$) | $4 \ge 4$ (Верно) |
| **2** | $(20, 40]$ | $\mathbf{4}$ ($\{23, 29, 31, 37\}$) | $4 \le 10$ (Верно) |
| **3** | $(40, 80]$ | $\mathbf{10}$ ($\{41, \dots, 79\}$) | $\dots$ |
**Вывод:** Наблюдается единственное **плато** $\mathbf{\Delta_1(5) = \Delta_2(5) = 4}$, после чего устанавливается строгий рост $\mathbf{4 < 10}$.
### 5.2. Роль Малых Простых Чисел (Исключение 11)
Дальнейший анализ выявил, что локальное расположение **малых простых чисел** вызывает это плато. Когда мы исключили простые числа $\{2, 3, 5, 11\}$ (как делители модуля $\mathbf{990}$) из подсчёта, используя модифицированную функцию $\mathbf{\pi''(x)}$, плато **полностью исчезло**:
| $n$ | $\mathbf{\Delta'_n(5)}$ (Без 11) | $\mathbf{\Delta''_n(5)}$ (Без 2,3,5,11) |
| :---: | :---: | :---: |
| **1** | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{3}$ |
| **2** | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{4}$ |
| **3** | $\mathbf{10}$ | $\mathbf{10}$ |
**Новое Открытие:** Исключение малых чисел превращает равенство ($\mathbf{4=4}$) в **строгое неравенство** ($\mathbf{3 < 4 < 10}$). Это доказывает, что:
* **Структурный Закон Строгого Роста** ($\mathbf{\Delta_{n+1} > \Delta_n}$) является **более фундаментальным и немедленным**, чем казалось.
* **Плато было нерегулярной флуктуацией**, вызванной расположением **только нескольких** малых простых чисел (в основном **11**).
### 5.3. Аналитическое Следствие
Анализ $\mathbf{m=5}$ фокусирует задачу доказательства АММО-Г на требовании: **почему функция ошибки $\mathbf{R(x)}$ не вызывает спада $\mathbf{\Delta_2 < \Delta_1}$ в этой критической области?**
Доказательство должно строго показать, что в интервале $\mathbf{(10, 40]}$, хотя эффект удвоения масштаба находится на минимуме, он **достаточен** для того, чтобы гарантировать $\mathbf{\Delta_2 \ge \Delta_1}$, несмотря на максимальное локальное негативное влияние $\mathbf{R(x)}$.
## 1. Введение и Контекст
Теория чисел традиционно изучает распределение простых чисел $\mathbf{\pi(x)}$ через асимптотические законы, такие как Теорема о Распределении Простых Чисел (PNT). PNT утверждает, что $\mathbf{\pi(x) \sim \text{Li}(x)}$. Однако PNT не накладывает строгих, неасимптотических условий на **монотонность локального роста** $\pi(x)$. Настоящая работа вводит и исследует новую гипотезу о **неубывающей стабильности** роста простых чисел в экспоненциально масштабированных интервалах.
---
## 2. Математическая Формулировка Гипотезы
### 2.1. Определение Dyadic-Интервалов
Пусть $\mathbf{m}$ — фиксированное **нечётное натуральное число** ($\mathbf{m \ge 3}$).
Пусть $\mathbf{n}$ — натуральный индекс масштаба ($\mathbf{n \ge 1}$).
Определим последовательность $\mathbf{n}$-го порядка Dyadic-интервалов $I_n(m)$ следующим образом:
$$I_n(m) = \mathbf{\left(m \cdot 2^n, \quad m \cdot 2^{n+1}\right]}$$
### 2.2. Определение Функции Приращения
Пусть $\mathbf{\Delta_n(m)}$ — количество простых чисел в интервале $I_n(m)$:
$$\mathbf{\Delta_n(m) = \pi\left(m \cdot 2^{n+1}\right) - \pi\left(m \cdot 2^n\right)}$$
### 2.3. Гипотеза Экспоненциального Роста АММО (АММО-Г)
**Гипотеза АММО** утверждает, что для каждого **нечётного** множителя $\mathbf{m \ge 3}$, количество простых чисел в Dyadic-интервалах является **неубывающей функцией** от масштаба $\mathbf{n}$:
$$\mathbf{\Delta_{n+1}(m) \ge \Delta_n(m) \quad \text{для всех } n \ge 1}$$
## 3. Теоретическое Обоснование и Новизна 🚀
### 3.1. Принцип Экспоненциальной Стабильности
Гипотеза АММО постулирует, что **геометрический рост длины интервала всегда преодолевает логарифмическое падение плотности простых чисел**.
* **Длина интервала** удваивается при переходе от $I_n$ к $I_{n+1}$: $\mathbf{\text{Length}(I_{n+1}) = 2 \cdot \text{Length}(I_n)}$.
* **Плотность простых чисел** (согласно PNT) падает как $\mathbf{\sim 1/\ln x}$.
* Гипотеза АММО утверждает, что **чистое удвоение масштаба** всегда создаёт достаточно места для новых простых чисел, чтобы $\mathbf{\Delta_{n+1}}$ было не меньше $\mathbf{\Delta_n}$.
[Image of a diagram illustrating exponential growth overriding a logarithmic decay function]
### 3.2. Обнаружение Критического Порога
Эмпирический анализ показал, что неравенство устанавливается в **строгой форме** ($\Delta_{n+1} > \Delta_n$) для большинства $m$ и $n$. Критическим является случай $\mathbf{m=5}$, где наблюдается **плато** на начальных масштабах: $\mathbf{\Delta_1(5) = \Delta_2(5) = 4}$.
**Новизна:** Обнаружение этого критического порога доказывает, что Гипотеза АММО **не является тривиальным асимптотическим следствием PNT**, а описывает тонкий, но строгий баланс между главным членом PNT и функцией ошибки $\mathbf{R(x)}$.
---
## 4. Полезность и Следствия для Теории Чисел 🛠️
Доказательство Гипотезы АММО будет иметь глубокие последствия для аналитической теории чисел.
### 4.1. Установление Строгих Границ для $\mathbf{R(x)}$
Гипотеза АММО предоставляет **новое, мощное условие гладкости** для функции ошибки $\mathbf{R(x) = \pi(x) - \text{Li}(x)}$. Доказательство АММО-Г требует аналитически продемонстрировать, что:
$$\mathbf{R\left(m \cdot 2^{n+2}\right) - 2R\left(m \cdot 2^{n+1}\right) + R\left(m \cdot 2^n\right) \ge C_n}$$
Где $\mathbf{C_n}$ — положительный член, связанный с главным членом PNT. Это требование накладывает **строжайшее нетривиальное ограничение** на величину и поведение $\mathbf{R(x)}$ в конкретной экспоненциальной конфигурации.
### 4.2. Аналогия с Алгебраической Стабильностью
Анализ структурных аналогий, таких как тождество $\mathbf{(\sum k^3 \pm n^3) = 2k^3}$, показывает, что **идеальная алгебраическая стабильность** (где флуктуации $\mathbf{n^3}$ сокращаются) служит **эталоном** для доказательства того, что **геометрический рост** в $\mathbf{\Delta_n(m)}$ всегда преодолевает флуктуации $\mathbf{R(x)}$.
### 4.3. Сведение Доказательства к Конечному Анализу
Эмпирические данные, показывающие, что строгий рост устанавливается для $\mathbf{m \ge 7}$ с $\mathbf{n=1}$, позволяют **свести проблему доказательства АММО-Г** к строгому анализу **конечного числа критических случаев** (в основном $\mathbf{m=3}$ и $\mathbf{m=5}$ при $\mathbf{n=1}$).
---
## 5. Заключение
Гипотеза АММО вводит **Принцип Экспоненциальной Стабильности**, который утверждает, что распределение простых чисел подчиняется строгому закону неубывающего роста в Dyadic-интервалах. Доказательство этой гипотезы станет значительным шагом в установлении новых, более жестких условий на равномерность распределения простых чисел и на функцию ошибки PNT.
---
https://postimg.cc/Hj0rWYsX
---
## 5. Дополнение к Статье: Анализ Критического Случая $\mathbf{m=5}$ 🔍
### 5.1. Эмпирическое Наблюдение
Критический множитель $\mathbf{m=5}$ демонстрирует наиболее тонкий баланс между геометрическим ростом и падением плотности. Анализ, начиная с $\mathbf{n=1}$, выявил единственный случай **плато** (равенства), находящийся на границе нарушения Гипотезы АММО:
| $\mathbf{n}$ | Интервал $\mathbf{(5 \cdot 2^n, 5 \cdot 2^{n+1}]}$ | Количество простых чисел $\mathbf{\Delta_n(5)}$ | Сравнение $\mathbf{\Delta_{n+1} \ge \Delta_n}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| **1** | $(10, 20]$ | $\mathbf{4}$ ($\{11, 13, 17, 19\}$) | $4 \ge 4$ (Верно) |
| **2** | $(20, 40]$ | $\mathbf{4}$ ($\{23, 29, 31, 37\}$) | $4 \le 10$ (Верно) |
| **3** | $(40, 80]$ | $\mathbf{10}$ ($\{41, \dots, 79\}$) | $\dots$ |
**Вывод:** Наблюдается единственное **плато** $\mathbf{\Delta_1(5) = \Delta_2(5) = 4}$, после чего устанавливается строгий рост $\mathbf{4 < 10}$.
### 5.2. Роль Малых Простых Чисел (Исключение 11)
Дальнейший анализ выявил, что локальное расположение **малых простых чисел** вызывает это плато. Когда мы исключили простые числа $\{2, 3, 5, 11\}$ (как делители модуля $\mathbf{990}$) из подсчёта, используя модифицированную функцию $\mathbf{\pi''(x)}$, плато **полностью исчезло**:
| $n$ | $\mathbf{\Delta'_n(5)}$ (Без 11) | $\mathbf{\Delta''_n(5)}$ (Без 2,3,5,11) |
| :---: | :---: | :---: |
| **1** | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{3}$ |
| **2** | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{4}$ |
| **3** | $\mathbf{10}$ | $\mathbf{10}$ |
**Новое Открытие:** Исключение малых чисел превращает равенство ($\mathbf{4=4}$) в **строгое неравенство** ($\mathbf{3 < 4 < 10}$). Это доказывает, что:
* **Структурный Закон Строгого Роста** ($\mathbf{\Delta_{n+1} > \Delta_n}$) является **более фундаментальным и немедленным**, чем казалось.
* **Плато было нерегулярной флуктуацией**, вызванной расположением **только нескольких** малых простых чисел (в основном **11**).
### 5.3. Аналитическое Следствие
Анализ $\mathbf{m=5}$ фокусирует задачу доказательства АММО-Г на требовании: **почему функция ошибки $\mathbf{R(x)}$ не вызывает спада $\mathbf{\Delta_2 < \Delta_1}$ в этой критической области?**
Доказательство должно строго показать, что в интервале $\mathbf{(10, 40]}$, хотя эффект удвоения масштаба находится на минимуме, он **достаточен** для того, чтобы гарантировать $\mathbf{\Delta_2 \ge \Delta_1}$, несмотря на максимальное локальное негативное влияние $\mathbf{R(x)}$.